[Python][Lens]#05 Sellmeier 방정식 이해와 광학에서의 응용(시각화)

수식:

 

 

1. 이 식의 의미와 목적:

이 방정식은 Sellmeier 방정식이라고 알려져 있습니다. 이는 유리나 다른 투명한 물질의 굴절률을 묘사하기 위해 사용되는 특별한 형태의 디스퍼젼 방정식입니다.

광학에서, 디스퍼젼은 빛의 속도가 그 파장에 따라 다르게 변하는 현상을 설명하는데 사용됩니다. 특정 물질에서 빛의 속도는 그 물질의 굴절률에 의해 결정됩니다. 따라서 굴절률은 빛의 파장에 따라 변하며, 이 변화는 디스퍼젼을 초래합니다.

Sellmeier 방정식의 목적은 굴절률을 파장의 함수로 정확하게 예측하기 위한 것입니다. Sellmeier 계수 B1, B2, B3, lambda1, lambda2, lambda3는 특정 물질의 광학적 특성을 결정하는 실험적으로 얻어진 값입니다. 이 계수들은 물질의 구조와 상호작용에 대한 정보를 포함하고 있습니다.

이 방정식을 사용하면, 주어진 파장 범위 내에서 물질의 굴절률을 정확하게 계산할 수 있습니다. 이는 광학 설계 (렌즈, 프리즘 등)에서 중요하며, 디바이스 성능을 최적화하는 데 사용됩니다.

또한 이 방정식은 특정 물질의 굴절률 스펙트럼을 그래프로 그려 시각화하는 데도 사용될 수 있습니다. 이는 물질이 어떤 파장에서 어떤 광학적 특성을 보일지를 이해하는 데 도움이 됩니다.

 

2. 수학기호:

• n : 이는 물질의 굴절률입니다. 굴절률은 빛이 특정 물질을 통과할 때 얼마나 느려지는지를 나타냅니다. n^2(λ)로 표시된 이유는 굴절률이 일반적으로 복소수라는 점 때문입니다. 여기서는 물질의 투과도를 무시하고 n만을 고려하므로 n^2(λ)을 사용합니다.
• λ : 이는 빛의 파장을 나타내며 일반적으로 미터나 나노미터 단위로 표시됩니다. 파장은 빛의 색상을 결정하며, 굴절률은 이 파장에 따라 다르게 됩니다.
• B1, B2, B3 : 이들은 Sellmeier 계수로서, 특정 물질의 광학적 특성을 결정합니다. 이들 계수는 실험적으로 결정됩니다.
• λ1, λ2, λ3 : 이들은 Sellmeier 방정식의 특징적인 파장들을 나타내며, 이 파장들 주변에서는 Sellmeier 방정식이 유효하지 않을 수 있습니다. 이들 값 역시 실험적으로 결정됩니다.

Sellmeier 방정식의 각 항들은 물질의 특정 에너지 레벨 사이의 전환을 나타낼 수 있으며, 각 전환이 특정 파장에서 굴절률에 기여하는 것으로 해석될 수 있습니다. 이 방정식은 그 자체로 많은 물리적 의미를 가지지는 않지만, 실험적으로 얻은 데이터를 잘 맞추는 데 매우 유용합니다.

 

3. 활용방안: 

Sellmeier 방정식은 광학 시스템 디자인에 널리 사용되는데, 그 이유는 이 방정식이 빛의 파장에 따라 물질의 굴절률이 어떻게 변하는지 정확하게 예측할 수 있기 때문입니다. 이를 활용하는 구체적인 예는 다음과 같습니다:

• 렌즈 디자인: 렌즈는 빛의 경로를 변경하는 데 사용되며, 이는 렌즈의 모양과 물질에 따라 달라집니다. Sellmeier 방정식은 렌즈의 굴절률을 알아야 하는 렌즈 디자인 과정에서 사용됩니다. 또한, 렌즈의 표면을 코팅하여 특정 파장에서의 반사를 줄이는 데도 사용됩니다.
• 크로마틱 수차 보정: 렌즈는 빛의 다른 색상을 다르게 굴절시키는데, 이는 크로마틱 수차라고 알려진 문제를 일으킵니다. Sellmeier 방정식을 사용하면 이러한 수차를 예측하고 보정할 수 있습니다.
• 광학 통신: 광학 섬유는 빛의 파장에 따라 다른 속도로 정보를 전송하므로, Sellmeier 방정식은 광학 섬유를 통해 정보를 전송하는 광학 통신 시스템에서 중요합니다.
• 광학 소자의 성능 평가: 물질의 광학적 특성을 정확하게 알아야 하는 경우 Sellmeier 방정식을 사용하면 광학 소자의 성능을 평가하고 예측할 수 있습니다.
• 광학 측정기술: 굴절률은 많은 광학 측정기술에서 중요한 역할을 하는데, 이는 Sellmeier 방정식을 사용하여 특정 조건에서 굴절률을 예측할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 빛의 굴절률을 측정하여 물질의 농도나 온도를 측정하는 데 사용할 수 있습니다.

4. Code:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 설정 값
B2 = 1
B3 = 1
lambda1 = 1
lambda2 = 2
lambda3 = 3

# 람다 및 B1 값 범위 설정
lambdas = np.linspace(0.1, 4, 100)
B1s = np.linspace(0.1, 4, 100)

# 2차원 그리드 생성
lambda_grid, B1_grid = np.meshgrid(lambdas, B1s)

# n^2(lambda, B1) 계산
n_squared = 1 + (B1_grid*lambda_grid**2)/(lambda_grid**2 - lambda1**2) + (B2*lambda_grid**2)/(lambda_grid**2 - lambda2**2) + (B3*lambda_grid**2)/(lambda_grid**2 - lambda3**2)

# 3D 그래프 플로팅
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(lambda_grid, B1_grid, n_squared, cmap='viridis')

ax.set_xlabel('Lambda')
ax.set_ylabel('B1')
ax.set_zlabel('n^2(lambda, B1)')
plt.title('3D Visualization of the Given Equation')
plt.show()

 

 

 

5. Code 설명 및 결과:

 

이 코드는 주어진 Sellmeier 방정식을 사용하여 lambda와 B1에 대한 n^2(lambda, B1)를 계산하고, 그 결과를 3차원으로 시각화하는 것입니다. 다음은 각 코드 섹션에 대한 설명입니다:

• 변수 설정: B2, B3, lambda1, lambda2, lambda3 등의 값들을 설정합니다. 이 값들은 Sellmeier 방정식에 사용되며, 실제 환경에서는 실험적으로 얻어진 값들을 사용하게 됩니다.
• 람다 및 B1 값 범위 설정: np.linspace를 사용하여 람다와 B1의 범위와 단계를 설정합니다. 이렇게 하면 이 범위 내의 모든 값들에 대해 방정식을 계산할 수 있습니다.
• 2차원 그리드 생성: np.meshgrid를 사용하여 람다와 B1의 모든 가능한 쌍에 대한 2차원 그리드를 생성합니다.
• n^2(lambda, B1) 계산: 주어진 Sellmeier 방정식을 사용하여 그리드의 각 점에 대한 n^2의 값을 계산합니다.
• 3D 그래프 플로팅: plot_surface 함수를 사용하여 lambda, B1, 그리고 계산된 n^2 값을 3차원 공간에 플로팅합니다. cmap='viridis'는 색상 맵을 설정합니다.

이렇게 하면 lambda와 B1에 대한 n^2(lambda, B1)의 3차원 그래프가 생성됩니다. 이 그래프는 Sellmeier 방정식이 어떻게 두 변수에 의해 영향을 받는지 시각적으로 이해하는 데 도움이 됩니다.