Luke's Study Space

수식: 이 수식은 자기장에 대한 Biot-Savart 법칙을 일반화한 것입니다. 이 수식을 통해 공간 내에 존재하는 전류 분포로부터 발생하는 자기장을 계산할 수 있습니다. 1. 목적/의미:이 식은 전류 밀도 J(r')가 있는 공간에서 어떤 위치 r에서의 자기장 B(r)을 계산하는 방법을 나타냅니다. 이 식은 전기 전류와 관련된 아래와 같이 2가지로 표현됩니다. 1) 전류 밀도 J(r')와 위치 r 사이의 거리에 따른 자기장 B(r)의 크기를 계산하는 방법을 제공합니다. 여기서 μ₀는 자기 permeability 상수이고, ∇r는 위치 벡터 r에 대한 기울기 연산자입니다. 2) 전류 밀도 J(r')에 의한 자기장 B(r)를 계산하기 위해 벡터적분학의 연산자인 회전(또는 크롤, curl)을 사용합니다. 이 ..

수식: 1. 목적: Gauss' law를 나타내는 식입니다. 전기장의 흐름을 나타내는 법칙으로, 전하 밀도 ρ에 의해 생성되는 전기장 E를 나타냅니다. Gauss' law에서 이 식(적분 변환)은 전기장의 분포와 전하 밀도 사이의 상호작용을 나타내는데 중요한 역할을 합니다. 물리적, 광학 분야에서 모두 중요한 의미를 가지고 있습니다. 1) 전자기학 측면: 이 식은 전하 밀도 ρ가 연속적으로 분포되어 있을 때, 그 분포에서 생성되는 전기장의 크기와 방향을 계산하는데 사용됩니다. 이를 통해 전기장이 발생하는 전하 밀도와의 상호작용을 나타내며, 전기장이 생성되는 공간 내에서 전하의 운동을 예측하는데 활용됩니다. 또한, 이식은 대칭적인 전하 분포에서 생성되는 전기장 크기 및 방향을 예측할 때 계산을 더욱 간단하..

1. 목적: 이 글의 목적은 광학에서 자주 사용되는 Fourier 이론에 대한 개요를 제공하는 것입니다. 글에서는 Fourier expansion, Fourier integral theorem, Fourier transform 등의 개념이 소개되고, 이를 통해 광학 분야에서 어떻게 활용될 수 있는지가 설명됩니다. 2. 사용된 수학식에 대한 설명 1) Fourier expansion (푸리에 전개): 푸리에 전개는 주기적인 함수를 코사인 및 사인 항들의 합으로 표현하는 방법입니다. 여기서 a_n과 b_n은 각각 코사인 및 사인 항의 계수이며, Δω는 기본 주파수의 배수입니다. 주기적인 함수를 주어진 주파수의 코사인 및 사인 함수들의 합으로 분해할 수 있으며, 이를 통해 함수를 다루기 쉬운 형태로 나타낼 수..

수식: Sylvester의 정리는 2x2 행렬의 행렬식이 1일 때, 해당 행렬의 회전 변환에 대한 각도(cosine angle)를 계산하는 공식입니다 1. 목적 Sylvester의 정리는 2x2 행렬의 행렬식이 1일 때, 해당 행렬의 각각의 각도에 대한 코사인 값을 계산하는 공식입니다. 이 공식은 회전 변환(rotation transformation)과 같은 기하학적 문제를 해결하는 데에 사용됩니다. 2. 수식 기호별 의미: 주어진 2x2 행렬 A = [a, b; c, d]의 행렬식이 1인 경우, 다음과 같은 공식이 성립합니다: cos⁡θ = 1/2(A+D) 여기서, θ: A가 회전 변환으로 표현될 때, 해당 회전 변환의 각도 (단위: 라디안) A: 주어진 2x2 행렬 D: A의 주 대각선 요소(diag..

수식: 이 수식은 복소수 표현을 사용하여 삼각함수의 곱셈 공식을 나타내고 있습니다. 이 수식을 자세히 살펴보겠습니다. 이식이 나타내는 것: 수식은 cos(α+β)를 A와 관련된 복소수 표현식으로 나타낸 것입니다. 여기서 A는 cos(α+β)의 계수이며, α와 β는 각각의 각도입니다. 이 수식은 cos(α+β)와 A * e^(iα)의 실수부 Re{A * e^(iα)} 사이의 관계를 보여줍니다. 이식의 목적과 의미: 이 수식의 목적은 삼각함수의 곱셈 공식을 복소수 형태로 나타내어 복소수 표현을 이용한 삼각함수의 성질과 관계를 보다 쉽게 이해하고 분석할 수 있도록 하는 것입니다. 이를 통해 삼각함수와 복소수 사이의 연결고리를 확인할 수 있으며, 복소수를 이용한 수학적 문제를 다루는 데 도움이 됩니다. 활용 방..

수식: 이 수식은 복소수에서 쌍곡선 사인(hyperbolic sine, sinh)과 쌍곡선 코사인(hyperbolic cosine, cosh) 함수를 유도하는 공식을 나타냅니다. 이 수식을 자세히 살펴보겠습니다. 이식이 나타내는 것: 이 수식은 복소수 공간에서 쌍곡선 사인 함수와 쌍곡선 코사인 함수를 유도하는 공식입니다. 이 공식에 따르면, 쌍곡선 사인 함수 sinh(γ)는 복소수 i와 각 γ의 곱의 사인 함수 sin(iγ)와 관련되어 있습니다. 마찬가지로, 쌍곡선 코사인 함수 cosh(γ)는 복소수 i와 각 γ의 곱의 코사인 함수 cos(iγ)와 관련되어 있습니다. 이식의 목적과 의미: 이 공식의 목적은 복소수에서의 삼각함수와 쌍곡선 함수 사이의 관계를 설명하는 것입니다. 이 관계를 통해 복소수 영역에..

수식: 이 식은 오일러 공식(Euler's formula)이라고도 불리며, e, i, pi, cos, sin 등 다양한 수학적 개념이 하나로 합쳐진 식입니다. 1. 이식이 나타내는 것: 이 식은 e, i, pi, cos, sin 등의 수학적 개념을 하나의 식으로 표현하여 수학적인 계산을 단순하게 만들어 주는 역할을 합니다. 또한 이 식은 삼각함수와 지수함수를 연결시켜주는 중요한 역할을 하며, 물리학, 공학, 수학 등 다양한 분야에서 활용되고 있습니다. 2. 목적: e^iϕ=cos⁡ϕ+isin⁡ϕ 이식은 삼각함수와 지수함수를 연결시켜주는 역할을 하므로, 다음과 같은 의미와 활용 방안을 갖습니다. 3. 의미: - 복소수의 지수 표현: e^(ix)는 복소평면 상에서 각도 x에 해당하는 위치의 복소수를 의미합니..