[Python][Physics]#09 복소수에서 쌍곡선 사인(sinh)과 쌍곡선 코사인(cosh) 함수 유도 공식(시각화)

수식:

 

이 수식은 복소수에서 쌍곡선 사인(hyperbolic sine, sinh)과 쌍곡선 코사인(hyperbolic cosine, cosh) 함수를 유도하는 공식을 나타냅니다. 이 수식을 자세히 살펴보겠습니다.

1. 이식이 나타내는 것: 이 수식은 복소수 공간에서 쌍곡선 사인 함수와 쌍곡선 코사인 함수를 유도하는 공식입니다. 이 공식에 따르면, 쌍곡선 사인 함수 sinh(γ)는 복소수 i와 각 γ의 곱의 사인 함수 sin(iγ)와 관련되어 있습니다. 마찬가지로, 쌍곡선 코사인 함수 cosh(γ)는 복소수 i와 각 γ의 곱의 코사인 함수 cos(iγ)와 관련되어 있습니다.
2. 이식의 목적과 의미: 이 공식의 목적은 복소수에서의 삼각함수와 쌍곡선 함수 사이의 관계를 설명하는 것입니다. 이 관계를 통해 복소수 영역에서의 삼각함수와 쌍곡선 함수를 분석하고 변환할 수 있습니다. 이 공식은 삼각함수와 쌍곡선 함수의 아날로그 관계를 보여주며, 이 두 함수 사이의 유사한 구조와 성질을 이해하는 데 도움이 됩니다.
3. 활용 방안: 이 공식은 복소수 공간에서의 삼각함수와 쌍곡선 함수를 분석하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 물리학, 공학, 응용 수학 등의 다양한 분야에서 복소수를 포함하는 문제를 다룰 때 이 공식이 적용될 수 있습니다. 또한, 이 공식은 복소수에서의 삼각함수와 쌍곡선 함수의 성질을 연구하는 데 도움이 됩니다. 이는 복소 해석학, 복소수를 이용한 적분, 미분 방정식 등의 수학적 연구에서 중요한 역할을 합니다.
4. Code: 
   이 식을 3D로 시각화하기 위해 matplotlib, numpy 및 mpl_toolkits 라이브러리를 사용하겠습니다. 아래 코드를 실행하여 복소수 공간에서의 sin(iγ)와 cos(iγ) 함수의 그래프를 생성할 수 있습니다. 이 코드는 각각 sinh(γ)와 cosh(γ)의 그래프를 3D 공간에서 표현합니다.

python

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 데이터 생성
gamma = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 100)
sin_i_gamma = (np.exp(-gamma) - np.exp(gamma)) / 2j
cos_i_gamma = (np.exp(-gamma) + np.exp(gamma)) / 2

# 3D 그래프 생성
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 그래프에 데이터 추가
ax.plot(gamma, np.real(sin_i_gamma), np.imag(sin_i_gamma), label='sin(iγ) = sinh(γ)')
ax.plot(gamma, np.real(cos_i_gamma), np.imag(cos_i_gamma), label='cos(iγ) = cosh(γ)')

# 그래프 레이블 및 범례 설정
ax.set_xlabel('γ')
ax.set_ylabel('Real part')
ax.set_zlabel('Imaginary part')
ax.legend()

# 그래프 표시
plt.show()

5. Code 설명 및 결과:
이 코드를 실행하면, 각각 sinh(γ)와 cosh(γ) 함수의 그래프를 3D 공간에서 볼 수 있습니다. 그래프의 x축은 γ 값을 나타내며, y축과 z축은 각 함수의 실수부와 허수부를 나타냅니다. 범례를 사용하여 각 선이 어떤 함수를 나타내는지 표시되어 있습니다.