[Python][Physics]#07 스토크스 정리(Stokes' theorem)(시각화)

수식:

 

이 식은 스토크스 정리 (Stokes' theorem)이라고 불리며, 벡터 해석학에서 매우 중요한 정리 중 하나입니다. 이 식은 경계선 C를 가지는 면 S에서 벡터장 F의 회전을 나타내는 값과 경계선 C에서 벡터장 F의 선적분값 간의 관계를 나타내며, 다음과 같은 의미를 갖습니다:

 

1. 이식이 나타내는 것: 면 S의 경계선 C를 따라 일련의 선적분을 수행하여 벡터장 F를 평면에서 둘러싸는 회로에서의 값과, 면 S 내부에서의 벡터장 F의 회전값이 같다는 것을 나타냅니다.

 

2. 목적: 이 식은 벡터 해석학에서 공간 내의 벡터장의 성질을 이해하는 데 매우 중요합니다. 이를 통해 우리는 벡터장의 회전과 선적분의 관계를 이해하고, 이를 적용하여 다양한 물리적 문제를 해결할 수 있습니다.

 

3. 의미: 이 식은 평면상에서의 회로를 이용하여, 평면 내부에서의 회전값을 계산할 수 있음을 나타내며, 이를 통해 평면 내부에서 벡터장의 회전에 대한 정보를 구할 수 있습니다.

 

4. 활용방안: 이 식은 전자기학, 유체역학, 열역학 등 다양한 물리학 분야에서 적용되며, 특히 회로 이론, 자기장 이론, 유체 흐름 이론 등에서 매우 중요한 역할을 합니다. 또한 이를 활용하여 다양한 문제를 해결할 수 있습니다. 예를 들어, 평면상에서의 회로를 이용하여 자기장의 회전값을 계산하거나, 유체 내부에서의 유속과 압력 차이를 계산하는 등의 문제를 해결할 수 있습니다.

 

 

5. Code:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d

# 벡터장 F 정의 (여기에서는 F = (x*y, y*z, z*x)로 가정)
def F(x, y, z):
    return np.array([x*y, y*z, z*x])

# 벡터장 F의 회전 ∇×F 정의
def curl_F(x, y, z):
    return np.array([z, x, y])

# 3차원 그래프 그리기
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 그래프의 x, y, z 범위 설정
x, y, z = np.linspace(-1, 1, 10), np.linspace(-1, 1, 10), np.linspace(-1, 1, 10)
X, Y, Z = np.meshgrid(x, y, z)

# 벡터장 F의 화살표 그리기
U, V, W = F(X, Y, Z)
ax.quiver(X, Y, Z, U, V, W, length=0.1, normalize=True, color='blue')

# 벡터장 F의 회전 ∇×F의 화살표 그리기
U_curl, V_curl, W_curl = curl_F(X, Y, Z)
ax.quiver(X, Y, Z, U_curl, V_curl, W_curl, length=0.1, normalize=True, color='red')

# 축 라벨링
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')

# 범례 설정
ax.plot([], [], 'bo', label='F')
ax.plot([], [], 'ro', label='curl F')
ax.legend()

# 그래프 보여주기
plt.show()

 

6. Code 설명 및 결과:

이 파이썬 코드는 스토크스 정리(Stokes' theorem)를 3D 그래프로 시각화하는 예시 코드입니다.

먼저, Matplotlib 라이브러리와 mpl_toolkits.mplot3d 모듈을 import합니다.

이후, 벡터장 F와 벡터장 F의 회전 ∇×F를 각각 함수로 정의합니다. 이때, F의 구체적인 식은 사용자가 직접 정의할 수 있습니다. 여기에서는 F = (xy, yz, z*x)로 가정하였습니다.

그 다음, Matplotlib의 3D 그래프를 그리기 위해 fig와 ax 객체를 생성합니다.

그래프의 x, y, z 범위를 설정하고, 이를 meshgrid 함수를 이용하여 3차원 그래프를 그립니다. 이때, 벡터장 F와 벡터장 F의 회전 ∇×F를 화살표로 나타냅니다. 이를 위해서 quiver 함수를 사용합니다.

마지막으로, 그래프의 축 라벨과 범례를 설정하고, show 함수를 사용하여 그래프를 보여줍니다.

또한, 이 코드에서는 경로 C를 따라 적분된 벡터장 F의 선적(dl)을 구하는 부분은 구현되어 있지 않습니다. 이 부분은 사용자가 경로 C를 정의하고, 해당 경로에서의 F의 값을 적분하여 구할 수 있습니다.