[Python][Physics]#11 Sylvester의 정리를 이용한 행렬의 회전 변환 각도 계산(시각화)

수식:

 

Sylvester의 정리는 2x2 행렬의 행렬식이 1일 때, 해당 행렬의 회전 변환에 대한 각도(cosine angle)를 계산하는 공식입니다

 

1. 목적 Sylvester의 정리는 2x2 행렬의 행렬식이 1일 때, 해당 행렬의 각각의 각도에 대한 코사인 값을 계산하는 공식입니다. 이 공식은 회전 변환(rotation transformation)과 같은 기하학적 문제를 해결하는 데에 사용됩니다.

 

2. 수식 기호별 의미: 주어진 2x2 행렬 A = [a, b; c, d]의 행렬식이 1인 경우, 다음과 같은 공식이 성립합니다:

cos⁡θ = 1/2(A+D)

여기서,

θ: A가 회전 변환으로 표현될 때, 해당 회전 변환의 각도 (단위: 라디안)

A: 주어진 2x2 행렬

D: A의 주 대각선 요소(diagonal elements)의 합 (D = a+d)

 

3. 활용 방안 Sylvester의 정리는 회전 변환(rotation transformation)과 같은 기하학적 문제를 해결하는 데에 유용합니다. 예를 들어, 두 개의 2차원 벡터 v와 w 사이의 각도를 계산할 때, 벡터를 이루는 2x2 행렬 A를 구하고, 이 A의 행렬식이 1인지 확인한 후, Sylvester의 정리를 이용하여 각도를 계산할 수 있습니다.

또한, 이 공식은 컴퓨터 그래픽스, 로봇 공학 등에서 사용됩니다. 회전 변환을 행렬로 나타내어 계산하면, 컴퓨터가 이를 처리하는 데에 용이합니다. Sylvester의 정리를 사용하면, 회전 변환의 각도를 직접 계산하지 않고도, 행렬의 요소들만을 이용하여 회전 변환을 계산할 수 있습니다.

 

4. Code: 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def sylvester_plot(A, B, C, D):
    # Calculate cosine angle using Sylvester's formula
    cos_theta = 0.5 * (A + D)
    
    # Plot the matrix
    fig, ax = plt.subplots()
    mat = np.array([[A, B], [C, D]])
    im = ax.imshow(mat, cmap='coolwarm', vmin=-1, vmax=1)
    
    # Add colorbar and axis labels
    cbar = ax.figure.colorbar(im, ax=ax)
    ax.set_xticks(np.arange(2))
    ax.set_yticks(np.arange(2))
    ax.set_xticklabels(['A', 'B'])
    ax.set_yticklabels(['C', 'D'])
    ax.set_title(f'Cosine angle (θ) = {cos_theta:.3f}')
    
    # Add legend
    legend_text = f'A={A:.2f}, B={B:.2f}, C={C:.2f}, D={D:.2f}'
    ax.text(2.2, 0.5, legend_text, verticalalignment='center')
    
    plt.show()
    
# Example usage
sylvester_plot(0.6, -0.8, 0.8, 0.6)

 

5. Code 설명 및 결과:

2x2 행렬의 회전 변환 각도(cosine angle)를 계산하는 Sylvester의 정리를 시각화한 파이썬 코드입니다.

 

 위 코드에서 A, B, C, D는 2x2 행렬의 요소입니다. sylvester_plot 함수는 이 값을 입력받아 해당 행렬을 그리고, Sylvester의 정리에 따라 계산한 cosine angle을 출력합니다. 출력된 그래프에는 각각의 요소 값과 함께 cosine angle의 값이 범례에 나타납니다. 

sylvester_plot 함수는 이 값을 입력받아 해당 행렬을 그리고, Sylvester의 정리에 따라 계산한 cosine angle을 출력합니다. 출력된 그래프에는 각각의 요소 값과 함께 cosine angle의 값이 범례에 나타납니다.