[Python][Physics]#14 자기장에 대한 Biot-Savart 법칙 일반화(시각화)

수식:

이 수식은 자기장에 대한 Biot-Savart 법칙을 일반화한 것입니다. 이 수식을 통해 공간 내에 존재하는 전류 분포로부터 발생하는 자기장을 계산할 수 있습니다.

 

1. 목적/의미:이 식은 전류 밀도 J(r')가 있는 공간에서 어떤 위치 r에서의 자기장 B(r)을 계산하는 방법을 나타냅니다. 이 식은 전기 전류와 관련된 아래와 같이 2가지로 표현됩니다.

  1) 전류 밀도 J(r')와 위치 r 사이의 거리에 따른 자기장 B(r)의 크기를 계산하는 방법을 제공합니다. 여기서 μ₀는 자기 permeability 상수이고, ∇r는 위치 벡터 r에 대한 기울기 연산자입니다.
 2) 전류 밀도 J(r')에 의한 자기장 B(r)를 계산하기 위해 벡터적분학의 연산자인 회전(또는 크롤, curl)을 사용합니다. 이 연산자는 벡터장의 회전하는 성분을 나타냅니다.

두 가지 표현 모두 전류 밀도 J(r')와 관련된 자기장 B(r)를 계산하는 데 사용됩니다. 이러한 식은 전기 전류가 흐르는 전선이나 회로에서 발생하는 자기장을 이해하고 설계하는 데 필요한 기본 원리를 제공합니다. 이를 활용하여 전자기장 시뮬레이션, 전자기기 설계 및 분석 등의 다양한 응용 분야에서 사용할 수 있습니다.

 

 

2. 수식 기호별 의미:

• B(r): 위치 벡터 rr에서의 자기장
• μ0​: 자기 퍼미어빌리티(vacuum permeability), 물질이 자기장을 전달하는 능력을 나타내는 상수
• J(r′): 위치 벡터 r′에서의 전류 밀도 벡터
• ∇r: 위치 벡터 r에 대한 그래디언트 연산자
• dv′′: 전류 분포를 따라 적분하는 척도
• ∣r−r′∣: 위치 벡터 r와 r′사이의 거리
• J(r′)×∇r: 벡터 외적

3. 활용 방안: 이 수식을 사용하여 다양한 전자기학 문제를 해결할 수 있습니다. 예를 들어, 전선 주위의 자기장, 코일 또는 솔레노이드의 자기장, 물질 내부의 전류 분포로 인한 자기장 등을 계산할 수 있습니다. 이를 통해 전자기장 내에서 입자의 운동, 전자기 유도, 고주파 통신 장치 등의 동작 원리를 이해하고 설계할 수 있습니다.

 1)전선 주변의 자기장 계산:
직선 전선이나 원형 전선 주변의 자기장을 계산하고자 할 때 이 수식을 사용할 수 있습니다. 이를 통해 전선과의 거리에 따른 자기장의 강도를 알아낼 수 있으며, 전기 기기 설계에 도움이 됩니다.

 2) 코일 및 솔레노이드의 자기장 계산: 
코일이나 솔레노이드와 같이 전류가 흐르는 도선의 구조에서 발생하는 자기장을 계산하는 데 이 수식을 사용할 수 있습니다. 이를 통해 전자기장을 생성하거나 제어하는 전자기 기기를 설계하고 최적화할 수 있습니다.

 3) 전자기 유도 현상 분석:
전류가 흐르는 도선 주변의 자기장이 변화하면 전자기 유도 현상이 발생합니다. 이 수식을 사용하여 자기장의 분포와 변화를 계산함으로써, 전자기 유도에 의한 전압이나 전류를 예측하고 분석할 수 있습니다.

 4) 입자 가속기 및 고주파 통신 장치 설계:
입자 가속기에서는 전자기장을 이용해 입자를 가속시키며, 고주파 통신 장치에서는 전자기장을 이용해 신호를 전달합니다. 이러한 기기들의 설계에서 자기장의 분포와 강도를 정확하게 계산하는 것이 중요하며, 이 수식을 사용하여 이러한 계산을 수행할 수 있습니다.

 5) 생물학적 영향 연구:자기장이 생물체에 미치는 영향을 연구하는 데 이 수식을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 자기장이 신경 전달, 세포 기능, 동물의 이동 경로 등에 어떤 영향을 미치는지 연구하는 데 도움이 됩니다.

 6) 지구과학 및 천문학에서의 활용:
자기장은 지구과학 및 천문학에서도 중요한 역할을 합니다. 이 수식을 사용하여 지구의 자기장이나 천체의 자기장을 연구하고, 이를 통해 지구의 내부 구조, 천체의 환경, 천체의 환경 및 진화 과정 등을 이해하는 데 도움이 됩니다.

 7) 자기 공명 영상(MRI) 기술 개발:
자기 공명 영상(MRI)은 강한 자기장을 이용하여 인체 내부의 이미지를 얻는 기술입니다. 이 수식을 사용하여 MRI 기기에서 생성되는 자기장을 분석하고 최적화할 수 있으며, 더욱 정확하고 효과적인 진단 기술을 개발하는 데 도움이 됩니다.

 8) 에너지 저장 기술 연구:
초전도 자기 에너지 저장(SMES) 기술은 자기장을 이용하여 에너지를 저장하고 반환하는 기술입니다. 이 수식을 사용하여 SMES 장치의 자기장 분포를 분석하고 최적화할 수 있으며, 에너지 저장 효율을 향상시킬 수 있습니다.

 9) 전자기 스크린 기술 개발:
전자기 스크린은 강한 자기장이나 전기장으로부터 민감한 기기나 인체를 보호하는 기술입니다. 이 수식을 사용하여 전자기 스크린 재료의 효과를 분석하고 최적의 방어 구조를 설계할 수 있습니다.

 10) 나노 기술 연구:
나노 입자의 자기 특성을 연구하고, 이를 활용한 다양한 나노 기술을 개발하는 데 이 수식을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 자기 나노 입자를 이용한 약물 전달 시스템이나, 나노 크기의 자기 기억 합금의 개발 등에 활용됩니다.

이러한 활용 방안들을 통해 일반화된 Biot-Savart 법칙은 다양한 분야에서 전자기장에 대한 연구와 기술 개발에 기여합니다.

 

 

4. Code:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.colors as mcolors
import matplotlib.cm as cm

# 정육면체 좌표 범위
x_min, x_max = -1, 1
y_min, y_max = -1, 1
z_min, z_max = -1, 1

# 전류 반의 위치와 방향
current_pos = np.array([0, 0, 0])  # 전류 반 위치
current_dir = np.array([1, 0, 0])  # 전류 반 방향

# 전류 반의 전류 밀도
current_density = np.array([0, 0, 1])

# 정육면체를 이루는 격자점 생성
x, y, z = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, 10),
                      np.linspace(y_min, y_max, 10),
                      np.linspace(z_min, z_max, 10))

# 각 격자점에서의 벡터장 계산
Bx, By, Bz = np.zeros_like(x), np.zeros_like(y), np.zeros_like(z)
B_mag = np.zeros_like(x)

for i in range(x.shape[0]):
    for j in range(y.shape[0]):
        for k in range(z.shape[0]):
            # 각 격자점에서의 위치 벡터
            r = np.array([x[i,j,k], y[i,j,k], z[i,j,k]])
            # 위치 벡터와 전류 반의 거리 벡터
            r_prime = r - current_pos
            # 거리 벡터 크기의 제곱
            r_mag2 = np.sum(r_prime ** 2)
            # 거리 벡터 크기의 제곱에 대한 역수
            r_mag2_inv = 1 / r_mag2
            # 위치 벡터와 전류 반의 거리 벡터의 외적
            cross_prod = np.cross(current_dir, r_prime)
            # 벡터장 계산식의 분자 계산
            numerator = current_density * cross_prod
            # 벡터장 계산식의 분모 계산
            denominator = np.sqrt(r_mag2)
            # 벡터장 계산식의 전체 계산
            B = numerator * r_mag2_inv * denominator
            # 각 축별 벡터장 값 계산
            Bx[i,j,k], By[i,j,k], Bz[i,j,k] = B
            # 벡터장 크기 계산
            B_mag[i, j, k] = np.linalg.norm(B)

# 벡터장 크기에 따른 색상 지도 생성
norm = mcolors.Normalize(vmin=B_mag.min(), vmax=B_mag.max())
cmap = cm.viridis
colors = cmap(norm(B_mag))

# 벡터장 시각화
fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.quiver(x, y, z, Bx, By, Bz, length=0.2, normalize=True, color=colors.reshape(-1, 4))
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_xlim3d(x_min, x_max)
ax.set_ylim3d(y_min, y_max)
ax.set_zlim3d(z_min, z_max)

# 컬러바 추가
sm = cm.ScalarMappable(cmap=cmap, norm=norm)
sm.set_array([])
fig.colorbar(sm, ax=ax, shrink=0.7, aspect=20)

plt.show()

5. Code 설명 및 결과:

이 코드는 전류 밀도와 전류 반(current loop)의 위치와 방향에 따른 벡터장을 계산하고 있습니다. 이를 통해 격자점에서의 벡터장을 구한 후, 시각화를 수행합니다.벡터장의 강도에 따라 색상이 변하도록 코드를 수정했습니다. 먼저, 벡터장의 크기에 따른 색상 지도를 생성하고, 시각화 부분에서 벡터 색상을 지정합니다. 마지막으로, 컬러바를 추가하여 벡터장의 크기와 해당 색상 간의 대응 관계를 표시합니다.

다음은 코드의 주요 부분에 대한 설명입니다:
 1) 벡터장 크기(B_mag)를 계산하고 저장합니다.
 2) 벡터장 크기에 따른 색상 지도를 생성하기 위해 Normalize와 cmap을 사용합니다. 여기서는 viridis 컬러맵을 사용합니다.
 3) 벡터장의 크기에 따라 색상을 지정하고, 벡터를 3D 공간에 그립니다. 벡터장의 크기에 따른 색상 지도를 생성 하였습니다.