[Python][Physics]#21 복소 지수 형태의 전자기파 파동식 해석(시각화)

수식:

이 식은 전자기파의 공간적인 변화와 시간적인 진동을 나타내며, 전자기파의 전기장 벡터 크기와 방향은 위치 r과 시간 t에 따라 변화한다는 것입니다..

 

1. 의미와 목적: 이 식은 전자기파의 전기장 벡터를 나타내는 식으로, 전자기파의 공간적인 변화와 시간적인 진동을 표현합니다. 전자기파는 전자기력이나 광학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다. 이 식은 전자기파의 특성을 수학적으로 설명하고 예측하는 데 사용됩니다.

복소 지수 형태인 e^(i(kr - wt))를 가지고 있습니다. 복소 지수 형태는 삼각함수와 지수함수의 관계를 나타내는 오일러 공식에 기반합니다. 전자기파의 전기장 벡터는 시간적인 진동과 공간적인 변화를 동시에 나타내기 위해 복소 지수 형태로 표현됩니다.

kr은 위치 벡터 r과 파동수 벡터 k의 내적입니다. 이는 전자기파가 공간적으로 어떻게 변화하는지를 결정합니다. kr은 특정 위치 r에서의 위상을 나타내며, 이는 전자기파의 공간적인 변화를 표현합니다.

w*t는 시간 변수 t와 각주 w의 곱으로, 전자기파의 시간적인 진동을 나타냅니다. w는 각주(angular frequency)로, 한 주기를 완료하는 데 걸리는 시간의 역수입니다. t와 w의 곱은 전자기파의 진동 주기에 해당하는 시간을 나타내며, 이는 전자기파의 시간적인 변화를 표현합니다.

따라서 전체 식 E(r, t) = E₀ e^(i(kr - wt))은 위치 r에서의 시간 t에 따른 전자기파의 전기장 벡터를 나타냅니다. 이 식은 위치 r에서의 전자기장 크기와 위상을 E₀ e^(i(kr - wt))의 복소 지수 값으로 표현하고 있습니다. 전자기파는 시간적인 진동과 공간적인 변화를 동시에 나타내며, 파동수 벡터 k와 각주 w의 값에 따라 전자기파의 주파수와 파장이 결정됩니다.

이론적으로 이 식은 전자기파의 성질과 동작을 수학적으로 설명하고 예측하는 데에 사용됩니다. 전자기력, 광학, 전자기파 통신 등 다양한 분야에서 전자기파의 특성과 전자기장의 동작을 연구하고 설계하는 데에 활용됩니다. 이를 통해 전자기파의 전파, 반사, 굴절, 간섭 등을 이해하고 다양한 응용을 개발할 수 있습니다.

 

 

2. 수학 기호의 상세 설명:

E(r, t): 위치 r에서의 시간 t에 따른 전기장 벡터를 나타냅니다.

E₀: 전기장의 최대 크기를 나타내는 복소 상수입니다. 복소 상수는 실수와 허수 부분으로 구성되며, 전기장의 크기와 위상을 결정합니다.

e: 자연상수 e(약 2.71828)로, 수학적으로 지수 함수를 나타냅니다.

i: 허수 단위로, i² = -1입니다. 전자기파 식에서는 허수 단위 i를 사용하여 복소 지수 표현을 가능하게 합니다.

k: 파동수 벡터로, 전자기파의 공간적인 특성을 결정합니다. 파동수 벡터의 크기는 파장(λ)의 역수에 해당하며, 방향은 전파 방향을 나타냅니다.

r: 위치 벡터로, 전자기장을 측정하는 위치를 나타냅니다.

w: 각주(angular frequency)로서, w = 2πf입니다. 여기서 f는 전자기파의 주파수를 나타냅니다.

t: 시간 변수입니다.

 

 

3. 활용 방안: 이 식은 전자기파의 성질을 수학적으로 기술하므로, 다양한 방면에서 활용될 수 있습니다.

 1) 물리학: 전자기파의 특성을 연구하고 전자기력, 광학, 전자기파 통신 등의 분야에서 이론과 실험에 활용됩니다.

 2) 공학: 전자기파의 전기장 분포를 분석하여 안테나 설계, 전자기파 간섭 및 복사, 전자기파의 전파 특성 등을 연구하고 설계에 활용됩니다.

 3) 통신: 무선 통신 시스템에서 전자기파를 이용한 데이터 송수신을 설계하고 최적화하는 데에 활용됩니다.

 4) 광학: 전자기파의 전기장 벡터를 이용하여 광섬유 통신 시스템, 광학 레이저, 광학 센서 등의 광학 기술을 설계하고 분석하는 데에 활용됩니다.

 5) 물리학: 전자기파의 전기장 벡터를 이용하여 전자기파의 굴절, 반사, 굴절률, 편광 등의 현상을 연구하고 전자기파와 물질 간의 상호작용을 분석합니다.

 6) 전자공학: 전자기파의 전기장 벡터를 이용하여 전자회로, 안테나 설계, 전자기파 간섭 및 복사, 전자기파 차폐 및 증폭  등의 전자공학 시스템을 설계하고 분석합니다.

7) 의료 이미징: 전자기파를 이용한 의료 이미징 기술인 X선, 자기 공명 영상 (MRI), 전산화 단층 촬영 (CT) 등에서 전자기파의 특성과 상호작용을 이해하고 이미지 획득 및 해석에 활용합니다.

 

 

4. Code:

from mayavi import mlab
import numpy as np

# Constants
E_0 = 1
k = 1
w = 1
t = 0

# Create a meshgrid for (x, y, z)
x, y, z = np.mgrid[-5:5:100j, -5:5:100j, -5:5:100j]

# r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
r = np.sqrt(x**2 + y**2 + z**2)

# Define the real and imaginary parts of E
E_real = E_0 * np.cos(k*r - w*t)
E_imag = E_0 * np.sin(k*r - w*t)

# Visualize the real part of E
mlab.figure('Real part of E')
mlab.contour3d(x, y, z, E_real, contours=20)
mlab.colorbar(title='E_real', orientation='vertical')
mlab.outline()

# Visualize the imaginary part of E
mlab.figure('Imaginary part of E')
mlab.contour3d(x, y, z, E_imag, contours=20)
mlab.colorbar(title='E_imag', orientation='vertical')
mlab.outline()

mlab.show()

 

 

5. Code 설명 및 결과:

 

E(r,t)=E_0 e^(i(k*r-w*t)는 복소수 형태의 평면파를 나타내는 표현식입니다. 여기서 E_0는 전기장의 최대 강도, k는 파장수, ω는 각 주파수, r는 위치, 그리고 t는 시간을 나타냅니다. 이러한 표현식은 일반적으로 전자기학에서 파동의 표현으로 사용됩니다.

이 함수의 형태는 오일러 공식, e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)을 따릅니다. 따라서 주어진 식을 실수 부분과 허수 부분으로 나눌 수 있습니다:

• 실수 부분: E_real = E_0 * cos(k*r - w*t)
• 허수 부분: E_imag = E_0 * sin(k*r - w*t)

이제 이 두 부분을 3차원 공간에 시각화하는 것이 우리의 목표입니다. 코드에서는 먼저 NumPy의 mgrid 함수를 사용하여 x, y, z 좌표를 생성합니다. 그런 다음 이들을 사용하여 위치 r을 계산합니다.

이후 E_real과 E_imag는 각각 실수 부분과 허수 부분을 계산합니다. 여기서 E_0, k, w, t는 상수로 설정되었습니다.

마지막으로 mlab.contour3d 함수를 사용하여 E_real과 E_imag를 3D 공간에 시각화합니다. 각각의 실수 부분과 허수 부분에 대해 등고선을 그려 시각화합니다. 그리고 각각의 플롯에 색상 막대를 추가하고, 윤곽선을 그립니다. 마지막에 mlab.show()를 호출하여 그림을 표시합니다.