[Python][Physics]#17 Ampere's law의 전류 밀도에 따른 자기장 회전(시각화)

수식:

 

1. 식의 의미: '∇×B=μ0​J'은 벡터 해석학에서 중요한 기본 방정식 중 하나로, 자기장(B)과 전류 밀도(J) 간의 관계를 나타내는 회전 방정식(Curl equation)입니다. 이를 간단하게 설명하자면, 전류가 흐르는 곳에서 자기장이 발생한다는 것을 나타내는 식입니다. 자기장이 회전을 한다는 것을 의미하는 회전(Curl) 연산자인 '∇×'를 이용하여 자기장(B)의 회전율과 전류 밀도(J)의 비례 관계를 나타내고 있습니다.
2. 수학기호 별 수식(수학기호로 표현해줘)

• ∇ : '델' 기호로, 벡터미적분학에서 그레디언트(gradient), 발산(divergence), 회전(Curl)을 나타내는 기호입니다.
• × : '크로스' 기호로, 벡터의 외적을 나타냅니다. 벡터의 외적은 두 벡터 사이의 평면에 수직한 벡터를 생성합니다.
• B : 굵은 글씨체로, 자기장 벡터를 나타내는 기호입니다.
• μ0​ : 자유공간에서의 자기유도계수를 나타내는 상수입니다.
• J : 굵은 글씨체로, 전류 밀도 벡터를 나타내는 기호입니다.

3. 활용방안 '∇×B=μ0​J'은 전자기학에서 매우 중요한 방정식으로, 전류 밀도와 자기장의 관계를 나타냅니다. 이를 통해 전류 밀도와 자기장이 어떻게 상호작용하는지를 이해할 수 있습니다.

이 식은 전기 및 자기장의 성질을 이해하고 설계하는 데 매우 중요합니다. 예를 들어, 전자기장이 있는 시스템에서 전류 밀도를 최적화하여 자기장을 제어하는 방법을 연구하거나, 전자기장의 크기 및 방향을 측정하는 방법을 개발하는 데 이 식을 활용할 수 있습니다.

 1) 전기기기 제어 전자기장은 전력선, 전동기, 트랜스포머 등의 전기기기에서 중요한 역할을 합니다. 전기기기의 작동을 최적화하거나 고장을 예방하기 위해서는 자기장과 전류 밀도의 관계를 이해하고 이를 제어하는 기술이 필요합니다. 이를 위해 이 식을 활용하여 자기장의 크기 및 방향을 조절하는 기술을 개발할 수 있습니다.

 2) 의료기기 MRI(Magnetic Resonance Imaging)와 같은 의료기기에서는 자기장을 이용하여 이미지를 생성합니다. 이를 위해 자기장의 크기 및 방향을 정확하게 제어해야 합니다. 이를 위해 이 식을 활용하여 자기장의 크기와 방향을 조절하는 기술을 개발하고 있습니다.

 3) 전파통신 전자기파는 전기장과 자기장이 서로 상호작용하여 발생합니다. 이를 이해하기 위해서는 이 식을 활용하여 전파통신 시스템에서 자기장과 전류 밀도의 관계를 분석해야 합니다. 이를 통해 전파통신 시스템의 성능을 개선하는 기술을 개발할 수 있습니다.

 4) 벡터 미적분학 이 식은 공학 분야에서 널리 활용되는 벡터 미적분학의 기본 방정식 중 하나입니다. 이를 통해 자기장 및 전류 밀도와 관련된 다양한 문제를 해결하는 데 이용할 수 있습니다. 예를 들어, 전류 밀도가 있는 구조물에서 자기장이 어떻게 생성되는지를 이 식을 활용하여 분석할 수 있습니다.

자동차 제어 자동차의 전자장치에서는 전류가 흐르는 경우가 많습니다. 이 때, 이 식을 활용하여 자동차 내부에서 발생하는 자기장의 크기와 방향을 예측하고 제어할 수 있습니다. 이를 통해 자동차의 안전성과 성능을 개선하는 기술을 개발할 수 있습니다.

 

 

 

4. Code:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 전류 밀도 J를 정의합니다. 예를 들어, z축 방향으로 전류가 흐르는 경우 사용할 수 있습니다.
def J(x, y, z):
    return np.array([0, 0, z])

# 매개 변수 설정
x_range, y_range, z_range = (-10, 10), (-10, 10), (-10, 10)
num_points = 20
mu_0 = 4 * np.pi * 1e-7

# 그리드 생성
x = np.linspace(*x_range, num_points)
y = np.linspace(*y_range, num_points)
z = np.linspace(*z_range, num_points)
X, Y, Z = np.meshgrid(x, y, z, indexing='ij')

# 전류 밀도 벡터 필드 J 계산
J_field = np.zeros((3, num_points, num_points, num_points))
J_field[2] = Z

# 자기장 B를 계산합니다. 여기서는 간단한 예로, 회전이 z 방향 전류에 비례하도록 설정합니다.
B = np.zeros((3, num_points, num_points, num_points))
B[0] = -Y * mu_0 * Z / 2
B[1] = X * mu_0 * Z / 2

# 자기장 B의 회전 계산
curl_B = np.zeros((3, num_points, num_points, num_points))
curl_B[0] = mu_0 * Z
curl_B[1] = -mu_0 * Z

# 자기장 B와 전류 밀도 J의 회전을 시각화
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# quiver 함수를 사용하여 벡터를 그립니다.
J_quiver = ax.quiver(X, Y, Z, J_field[0], J_field[1], J_field[2], length=1, normalize=True, color='b', label='J (Current Density)')
B_quiver = ax.quiver(X, Y, Z, curl_B[0], curl_B[1], curl_B[2], length=1, normalize=True, color='r', label='Curl of B')

ax.set_title('Current Density J and Curl of Magnetic Field B')
ax.set_xlabel('X-axis')
ax.set_ylabel('Y-axis')
ax.set_zlabel('Z-axis')

# 범례 추가
ax.legend(handles=[J_quiver, B_quiver])

plt.show()

 

5. Code 설명 및 결과:

이 코드에서는 전류 밀도 J와 자기장 B의 회전 (∇ × B)을 함께 시각화하고, 범례를 추가하여 구분합니다. 이 예제에서는 z축 방향으로 전류가 흐르는 경우를 사용하였습니다.

 

 

 

애초에, 전자기학에서는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이라는 4개의 기본 방정식이 존재합니다. 이 중 Ampere's law의 회전 방정식(Curl equation)은 벡터장의 회전을 나타냅니다.

위 코드에서는 전류 밀도(J)와 자기장(B)를 구한 후, 회전(Curl)을 계산하여 벡터장의 회전 방정식에 따라 결과를 시각화하고 있습니다. 이를 통해, 회전 방정식에 따라 전류 밀도와 자기장 벡터의 관계가 묘사됩니다.

특히, 위 코드에서는 자기장(B)의 회전을 나타내는 벡터장(curl_B)를 구하였습니다. 이 벡터장은 회전 방정식의 좌변인 \nabla \times \mathbf{B}을 계산한 결과와 같으며, 이 값은 자기장의 회전(또는 회전율)을 나타냅니다.

따라서, 위 코드는 벡터장의 회전 방정식을 이용하여 자기장과 전류 밀도 간의 관계를 시각적으로 이해하는 데 도움을 줍니다.