[Python][Physics]#18 입자 분포 밀도와 자유 입자 밀도의 합산으로 나타낸 총 밀도 함수(시각화)

수식:

 

 

1. 의미:

위의 식은 자유 입자의 밀도와 입자의 분포 밀도를 합산하여 총 밀도 함수를 나타내는 수식입니다. 총 밀도 함수는 3차원 공간에서의 밀도 분포를 나타내며, 이를 이용하여 입자나 물질의 분포를 모델링하고 분석할 수 있습니다.

 

 

2. 수학기호:

ρ(x,y,z)=ρfree(x,y,z)+ρp(x,y,z)ρ(x,y,z)=ρfree​(x,y,z)+ρp​(x,y,z)

여기서, x, y, z는 3차원 공간의 좌표축을 의미하며, ρ(x,y,z)는 해당 좌표에서의 총 밀도를 의미합니다. ρfree​(x,y,z)는 자유 입자의 밀도 함수를 나타내며, ρp​(x,y,z)는 입자의 분포 밀도 함수를 나타냅니다.

 

기호들은 각각 3차원 좌표계에서의 위치에 따라 밀도 값을 나타내는 함수들입니다. 총 밀도 함수는 자유 입자의 밀도와 입자 분포 밀도를 더하여 나타내는 것으로, 해당 좌표에서의 총 밀도는 자유 입자 밀도와 입자 분포 밀도의 합산으로 구성됩니다.

 

 

3. 활용방안

위의 수식을 활용하여 다양한 분야에서 다양한 응용이 가능합니다. 예를 들어, 입자나 물질의 분포를 모델링하고 분석하는 물리학, 화학, 생명과학 등의 분야에서 활용될 수 있습니다. 이를 통해, 입자나 물질의 특성이나 움직임, 상호작용 등을 분석하거나 예측할 수 있습니다.

또한, 위의 수식을 응용하여 다양한 밀도 함수를 합산하는 것도 가능합니다. 예를 들어, 서로 다른 물질의 밀도 함수를 합산하여 다양한 물질이 혼합된 경우의 밀도 함수를 나타낼 수 있습니다.

따라서, 총 밀도 함수를 나타내는 위의 수식은 다양한 분야에서 다양한 응용이 가능하며, 이를 통해 다양한 분석이나 예측이 가능합니다.

 

 1) 물리학 분야: 입자의 운동이나 분포를 모델링하고 분석하는 데에 이 수식이 활용될 수 있습니다. 예를 들어, 입자의 위치나 운동을 나타내는 밀도 함수를 모델링하고 이를 시각화하여 입자의 상태 변화를 분석할 수 있습니다. 또한, 입자간의 상호작용이나 입자의 운동에 영향을 미치는 외부 요인을 고려하여 밀도 함수를 수정하고 분석할 수 있습니다.

 2) 화학 분야: 분자의 구조나 분포를 모델링하고 분석하는 데에 이 수식이 활용될 수 있습니다. 예를 들어, 분자의 구조나 분포를 나타내는 밀도 함수를 모델링하고 이를 시각화하여 분자의 성질이나 화학 반응에 대한 예측을 할 수 있습니다. 또한, 분자간의 상호작용이나 반응 조건 등을 고려하여 밀도 함수를 수정하고 분석할 수 있습니다.생명과학 분야

 3) 생명과학 분야: 생체 내에서 물질이나 입자의 분포를 모델링하고 분석하는 데에 이 수식이 활용될 수 있습니다. 예를 들어, 생체 내에서 특정 물질이나 세포의 분포를 나타내는 밀도 함수를 모델링하고 이를 시각화하여 생체 내에서의 상호작용이나 생리학적 반응을 예측할 수 있습니다. 또한, 생체 내에서의 조건이나 환경 등을 고려하여 밀도 함수를 수정하고 분석할 수 있습니다.

 

 

4. Code:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 가상의 데이터 생성
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.linspace(-5, 5, 100)
x, y = np.meshgrid(x, y)

def free_density(x, y):
    # 자유 밀도 함수를 정의하세요. 예: Gaussian 형태
    return np.exp(-(x**2 + y**2))

def particle_density(x, y):
    # 입자 밀도 함수를 정의하세요. 예: 원형 구조
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    return np.where(r < 1, 1, 0)

rho_free = free_density(x, y)
rho_p = particle_density(x, y)
rho = rho_free + rho_p

# 3D 시각화
fig = plt.figure(figsize=(12, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

ax.plot_surface(x, y, rho, cmap='viridis', alpha=0.7)

ax.set_xlabel('X-axis')
ax.set_ylabel('Y-axis')
ax.set_zlabel('Density (ρ)')

plt.title('3D Visualization of ρ = ρ_free + ρ_p')
plt.show()

 

5. Code 설명과 결과:

이 코드는 3차원 좌표계에서 두 개의 밀도 함수를 결합하여 총 밀도 함수를 생성하고, 이를 3D 시각화하는 것을 목적으로 합니다.

총 밀도 함수는 자유 입자가 존재하는 경우 (free density)와 입자의 분포가 존재하는 경우 (particle density)의 합으로 정의됩니다. 수식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

ρ(x,y)=ρfree(x,y)+ρp(x,y)ρ(x,y)=ρfree​(x,y)+ρp​(x,y)

여기서, x와 y는 3D 좌표계의 변수이며, ρ(x,y)는 해당 좌표에서의 총 밀도를 의미합니다.

자유 입자의 밀도 함수 ρfree(x,y)는 가우시안 분포와 같은 형태로 정의됩니다. 이 코드에서는 다음과 같은 함수를 사용합니다.

ρfree(x,y)=exp⁡(−x2−y2)ρfree​(x,y)=exp(−x2−y2)

입자 분포의 밀도 함수 $\rho_{\mathrm{p}}(x,y)$는 반지름이 1인 원 내부에서의 밀도는 1이고, 원 외부에서의 밀도는 0인 형태로 정의됩니다. 이 코드에서는 다음과 같은 함수를 사용합니다.

ρp(x,y)={1,if x2+y2≤10,otherwiseρp​(x,y)={1,0,​if x2+y2≤1otherwise​

위 함수에서는 NumPy의 where 함수를 사용하여 조건문을 처리합니다.

이렇게 정의된 밀도 함수를 3D 좌표계 상에서 시각화하기 위해, x와 y 변수는 NumPy의 linspace 함수를 사용하여 -5부터 5까지 100개의 동일한 간격으로 나누어진 100개의 점을 생성합니다. 이후, meshgrid 함수를 사용하여 x와 y를 2D 배열로 변환합니다.

 

총 밀도 함수는 이렇게 생성된 x, y 그리드에서 각 점에서의 자유 입자 밀도와 입자 분포 밀도를 더하여 형성됩니다. 이렇게 생성된 총 밀도 함수는 Matplotlib의 plot_surface 함수를 사용하여 3D 시각화되며, 각 축에는 x, y, 밀도 (ρ)의 레이블이 지정됩니다.

 

이 코드는 다양한 분야에서 적용될 수 있는데, 예를 들어 입자의 분포를 시각화하여 입자의 밀도 분포를 파악하거나, 자유 입자의 분포를 시각화하여 물리학, 화학 등의 분야에서 입자나 분자의 움직임을 모델링하고 분석할 때 사용될 수 있습니다.

이 코드에서는 각 함수의 형태가 다르기 때문에 두 밀도 함수를 합산하여 총 밀도 함수를 시각화하였지만, 두 함수의 형태가 같은 경우 더하기나 빼기 등의 연산이 가능합니다. 예를 들어, 두 가지 종류의 입자의 밀도 함수를 각각 계산하여 더하거나 빼는 것이 가능합니다.

 

마지막으로, 이 코드에서는 시각화를 위해 Matplotlib의 plot_surface 함수를 사용하였지만, Matplotlib의 다른 함수를 사용하여 3D 플롯을 생성하는 것도 가능합니다. 또한, 3D 시각화를 보조하는 패키지인 mpl_toolkits.mplot3d의 Axes3D 클래스를 import 하여 사용하였습니다.